Question

【题目】已知圆经过、，圆心在直线上，过点，且斜率为的直线交圆相交于、两点．

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）（i）请问是否为定值．若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；

（ii）若为坐标原点，且，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）7; （ii）.

【解析】试题分析:(1) 设圆的方程为，将已知条件代入,解出方程组,即可求得圆的方程；(2) （i）过点作直线与圆相切，切点为，则，根据数量积的定义代入可得为定值;（ii）依题意可知，直线的方程为，联立直线与圆方程,消去y,将韦达定理代入 ,即可求出，进而求得直线方程.

试题解析:（Ⅰ）设圆的方程为，

则依题意，得解得∴圆的方程为．

（Ⅱ）（i）为定值．

过点作直线与圆相切，切点为，则，

∴，∴为定值，且定值为7．

（ii）依题意可知，直线的方程为，

设， ，将代入并整理得：

，

∴， ，

∴ ，即，

解得，又当时，∴，所以直线的方程为．