题目内容

已知函数f（x）=x³-3ax+2（其中a为常数）有极大值18．
（Ⅰ）　求a的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）过原点的切线与函数g（x）=2bx²-7x-3-b在[-1，1]上的图象有交点，试求b的取值范围．

解：（1）f′（x）=3x²-3a
若a＜0则可得f′（x）≥0，不合题意
若a＞0则 $\text{[math]}$

可得 $\text{[math]}$ ∴a=4
（II）设切点为（x₀，y₀）而f（x）=x³-12x+2
故 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，故切线为y=-9x
由题意得 $\text{[math]}$ ，说明函数h（x）=2bx²+2x-3-b在区间[-1，1]上有零点
若b=0，则函数h（x）=2x-3在[-1，1]上没有零点
若a≠0，时分三种情况讨论：
①方程h（x）=0在区间[-1，1]上有重根，此时△=4（2b²+6b+1）=0，解得 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，h（x）=0的重根 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，h（x）=0的重根 $\text{[math]}$ ∉[-1，1]
故当方程h（x）=0在区间[-1，1]上有重根时，b= $\text{[math]}$
②h（x）在区间[-1，1]上只有一个零点且不是h（x）=0的重根
此时有h（-1）h（1）≤0∵h（-1）=b-5，h（1）=b-1∴（b-5）（b-1）≤0?1≤b≤5
∵当b=5时，方程h（x）=0在区间[-1，1]上有两个不同的实根
故当方程h（x）=0在区间[-1，1]上只有一个根且不是重根时，1≤b＜5
③方程h（x）=0在区间[-1，1]有两个不同的实根，则 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
综上可得，b的取值范围 $\text{[math]}$
分析：（I）先对函数求导f′（x）=3x²-3a，分a＞0，f′（x）≥0，a＞0则 $\text{[math]}$ ，讨论函数的单调性，进而求解函数的极值，从而可求a
（II）由题意可求切线方程y=-9x，由 $\text{[math]}$ ，在[-1，1]上的图象有交点，说明函数得函数h（x）=2bx²+2x-3-b在区间[-1，1]上有零点，利用方程的实根分别问题进行求解即可
点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及求解函数的极值，导数的几何意义的应用，解决本题的关键是灵活应用方程的实根分布进行求解．