Question

8．在（2x+3）²⁰的展开式中，求系数最大项的系数与最大的二项式系数之比．

Answer 1

分析 二项式系数最大的项的系数为${C}_{20}^{10}$，设第r+1项的系数最大，则由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{20}^{r}{{•2}^{20-r}{•3}^{r}≥C}_{20}^{r+1}{•2}^{19-r}{•3}^{r+1}}\\{{C}_{20}^{r}{•2}^{20-r}{{•3}^{r}＞C}_{20}^{r-1}{•2}^{21-r}{•3}^{r-1}}\end{array}\right.$ 求得r的值，可得系数最大的项的系数，从而求得系数最大项的系数与最大的二项式系数之比．

解答 解：在（2x+3）²⁰的展开式中，二项式系数最大的项的系数为${C}_{20}^{10}$，
设第r+1项的系数最大，则由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{20}^{r}{{•2}^{20-r}{•3}^{r}≥C}_{20}^{r+1}{•2}^{19-r}{•3}^{r+1}}\\{{C}_{20}^{r}{•2}^{20-r}{{•3}^{r}＞C}_{20}^{r-1}{•2}^{21-r}{•3}^{r-1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{20}^{r}•2{≥C}_{20}^{r+1}•3}\\{{C}_{20}^{r}•3{≥C}_{20}^{r-1}•2}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{r}≥\frac{2}{21-r}}\\{\frac{2}{20-r}≥\frac{3}{r+1}}\end{array}\right.$，求得$\frac{58}{5}$≤r≤$\frac{63}{5}$．
再根据r∈N，可得r=12，故展开式中系数最大的项的系数为${C}_{20}^{12}$•2⁸•3¹²，
故系数最大项的系数与最大的二项式系数之比 $\frac{{C}_{20}^{12}{•2}^{8}{•3}^{12}}{{C}_{20}^{10}}$=$\frac{{2}^{7}{•3}^{13}•5}{11}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．