Question

如图，已知抛物线的焦点为，过焦点且不平行于轴的动直线交抛物线于，两点，抛物线在、两点处的切线交于点.

（Ⅰ）求证：，，三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）设直线交该抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）可设直线的方程（），，，由消去，得，. ，，由，得，所以，直线的斜率为直线的方程为 同理，直线的方程为  M的横坐标即，，三点的横坐标成等差数列（Ⅱ）32

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知，得，显然直线的斜率存在且不为0，则可设直线的方程

（），，，

由消去，得，

. ，         2分

由，得，所以，直线的斜率为，

所以，直线的方程为，又，

所以，直线的方程为      ①         4分

同理，直线的方程为      ②          5分

②-①并据得点M的横坐标，

即，，三点的横坐标成等差数列          7分

（Ⅱ）由①②易得y=-1,所以点M的坐标为（2k,-1）().

所以，则直线MF的方程为          8分

设C(x₃,y₃),D(x₄,y₄), 由消去，得，

，.             9分

又

               10分

         12分

因为，所以，

所以，，

当且仅当时，四边形面积的取到最小值         14分

考点：抛物线方程及直线与抛物线的相交的位置关系弦长等

点评：当直线与圆锥曲线相交时，常联立方程组转化为关于x的二次方程，进而利用方程的根与系数的关系设而不求的方法化简，在求解时弦长公式经常用到，本题中函数在某一点的切线问题要借助于导数的几何意义求出切线斜率