Question

（（本小题满分12分）

     已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．

（1）求证：EF平面PAD；

（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，

∴平面PAD，                                            ）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                   …………4分

（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵，则PO 平面ABCD．

取AO中点M，连OG，,EO,EM,

∵EF //AB//OG,

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线

又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,

故OGEO  ∴ 即为所求       …………8分

  ，EM＝ＯＭ＝１ 

 ∴tan＝故 ＝              

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是   …………12分

                                     

方法2：（I）证明：过P作P O　AD于O，∵，

则PO 平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，       　　　　　　　 …………2分

∵PA＝PD　，∴，

得，

， 　　　　 …………（4分）

故，

∵，

∴EF　平面PAD；                         …………4分

（II）解：，

设平面EFG的一个法向量为 

则， ，    …………8分

平面ABCD的一个法向量为……（12分）

平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：

，锐二面角的大小是；              …………12分

 

【解析】略