题目内容

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC
（1）证明：A₁C⊥平面BED；
（2）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

解：（1）如图，以DA，DC，DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（2，0，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴A₁C⊥平面BED
（2）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设平面A₁DE的法向量为 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ，
得-2x+2y-3z=0，-2x-4z=0，
取 $\text{[math]}$
同理得平面BDE的法向量为 $\text{[math]}$ ，
∴cos＜ $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
所以二面角A₁-DE-B的余弦值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）以DA，DC，DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由向量法能证明A₁C⊥平面BED．
（2）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到平面A₁DE的法向量 $\text{[math]}$ ，同理得平面BDE的法向量为 $\text{[math]}$ ，由向量法能求出二面角A₁-DE-B的余弦值．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明和求二面角的余弦值，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的灵活运用．