Question

（Ⅰ）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：

①当n =4时，求的数值；②求的所有可能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

Answer 1

本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识,考查运用分类讨论的思想方法进行探索、分析及论证的能力.

解：（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。

     若删去，则，即化简得，得

若删去，则，即化简得，得

综上，得或。

②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。

若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；

当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)

综上所述，。

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得   （*）

由知，与同时为0或同时不为0

当与同时为0时，有与题设矛盾。

故与同时不为0，所以由（*）得

因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。

于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。

例如n项数列1，，，……，满足要求。