Question

设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列。

（1）当n=4时，求的数值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求n的所有可能值。

Answer 1

解析：（1）当n=4时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。若删去，则有，即,化简得，因为d0，所以，故得；若删去，则有，即，化简得，因为d0，所以，故得.综上或-4。

（2）若，则从满足题设的数列中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列的公差必为0，这与题设矛盾。所以满足题设的数列的项数。又因题设，故n=4或5。当n=4时，由(1)中的讨论知存在满足题设的数列。当n=5时，若存在满足题设的数列，则由“基本事实”知，删去的项只能是，从而成等比数列，故及

。分别化简上述两个等式，得及，故d=0，矛盾。因此不存在满足题设的项数为5的等差数列。综上可知， n只能为4.