Question

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当a=1时，对任意的正整数n＞1，求证：，且不等式都成立．

Answer 1

（I）解：由题设可得
∵函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，不等式即恒成立．
∵当x∈[1，+∞）时，的最大值为1，
∴实数a的取值范围是[1，+∞）；
（Ⅱ）解：当a=1时，
∴当时，f'（x）＜0，于是f（x）在上单调递减；
当x∈（1，2]时，f'（x）＞0，于是f（x）在（1，2]上单调递增．
又
综上所述，当x=1时，函数f（x）在上的最小值为f（1）=0，
当时，函数f（x）在上的最大值为
（Ⅲ）证明：当a=1时，由（Ⅰ）知在[1，+∞）上是增函数
∴对于任意的正整数n＞1，有，则，
∴
∴．
而，成立