Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知 BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁C₁C，则直线C₁B与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值为________．

Answer 1

分析：以BA为x轴，以BC为y轴，以BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，由BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁C₁C，知，，，设面ACC₁A₁的法向量，则，所以，由此利用向量法能求出直线C₁B与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值．
解答：解：以BA为x轴，以BC为y轴，以BB₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁C₁C，
∴A（），B（0，0，0），C（0，1，0），C₁（0，1，2），
∴，，，
设面ACC₁A₁的法向量，
则，
∴，
设直线C₁B与侧面ACC₁A₁所成角为θ，
sinθ=|cos＜＞|=||=．
故答案为：．
点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，恰当地建立空间直角坐标系，注意向量法的合理运用．