Question

若方程|x²-x|-a=0恰有3个实数解，则a=________．

Answer 1

分析：法一：首先由：|x²-x|-a=0，可得a≥0，然后分析若x²-x＞0时，由判别式可知此时方程有两个不相等的实数根，又由x²-x＜0时，分析当△=-4a+1＞0时，有两个不相等的实数根，当△=-4a+1=0时，有两个相等的实数根，当△=-4a+1＜0时，没有的实数根，即可求得答案．
法二：根据题意作出y=|x²-x|的图象，从图象可知直线y=a与y=|x²-x|的图象有三个交点即方程|x²-x|-a=0有三个不相等的实数根，即可得到a的值．
解答：法一：∵|x²-x|-a=0，
∴|x²-x|=a，
∴a≥0，
若x²-x＞0，
则x²-x-a=0，
∴△=（-1）²+4a=4a+1＞0，
此时方程有两个不相等的实数根．
若x²-x＜0，
则-x²+x-a=0，即则x²-x+a=0，
∴△=（-1）²-4a=-4a+1，
当-4a+1＞0时，0≤a＜，
此时方程有两个不相等的实数根，
当-4a+1=0时，a=，
此时方程有两个相等的实数根，
当-4a+1＜0时，a＞，
此时方程没有的实数根；
∴当0≤a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，当a=时，使得方程恰有3个不同的实根，当a＞时，使得方程恰有2个不同的实根．
法二：作函数y=|x²-x|的图象，如图．
由图象知直线y=与y=|x²-x|的图象有三个交点，即方程|x²-x|=也就是方程|x²-x|-=0有三个不相等的实数根，因此a=．
故答案为：．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、根的存在性及根的个数判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想、分类讨论思想．属于基础题．