题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ ，离心率 $数学公式$ ，O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），点O到直线AB的距离为 $数学公式$
（1）求椭圆C的方程；
（2）过M（0，2）作倾斜角为锐角的直线l交椭圆C于不同的两点P，Q，若 $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ ，求直线l的方程．

解：（1）∵A（a，0），B（0，b），
∴直线AB的方程为 $\text{[math]}$ ，即bx+ay-ab=0，
∵点O到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，①
∵离心率 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ②
联立①②得：a²=2，b²=1，
∴所求椭圆方程为： $\text{[math]}$ ．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，2）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（x₁，y₁-2）， $\text{[math]}$ ，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+2，
由 $\text{[math]}$ ，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
∵直线l交椭圆C于不同的两点P，Q，
∴△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，解得 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（x₁，y₁-2）， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线l的倾斜角为锐角，∴k= $\text{[math]}$ ，
∴直线l的方程为y= $\text{[math]}$ x+2．
分析：（1）由A（a，0），B（0，b），知直线AB的方程为bx+ay-ab=0，由点O到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，能求出椭圆方程．
（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+2，由 $\text{[math]}$ ，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由M（0，2）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ =（x₁，y₁-2）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能求出直线l的方程．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离公式和向量知识的合理运用．