Question

【题目】已知函数f（x）＝（1+x）t﹣1的定义域为（﹣1，+∞），其中实数t满足t≠0且t≠1.直线l：y＝g（x）是f（x）的图象在x＝0处的切线.

（1）求l的方程：y＝g（x）；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，试确定t的取值范围；

（3）若a1，a2∈（0，1），求证： .注：当α为实数时，有求导公式（xα）′＝αxα﹣1.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）根据函数的解析式求出导函数的解析式，求出切点坐标及切线的斜率（切点的导函数值），可得直线的方程；

（2）构造函数，若恒成立，即在上恒成立，即在上的最小值不小于0，分类讨论后可得满足条件的的取值范围；

（3）分和两种情况证明结论，并构造函数，先征得是单调减函数，进而得到结论.

（1）∵f（x）＝（1+x）t﹣1

∴f'（x）＝t（1+x）x﹣1，

∴f'（0）＝t，

又f（0）＝0，

∴l的方程为：y＝tx；

（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+x）t﹣tx﹣1，

h'（x）＝t（1+x）t﹣1﹣t＝t[（1+x）t﹣1﹣1]

当t＜0时，（1+x）t﹣1﹣1单调递减，

当x＝0时，h'（x）＝0

当x∈（﹣1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；

当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增.

∴x＝0是h（x）的唯一极小值点，

∴h（x）≥h（0）＝0，f（x）≥g（x）恒成立；

当0＜t＜1时，（1+x）t﹣1﹣1单调递减，

当x＝0时，h'（x）＝0

当x∈（﹣1，0），h'（x）＞0，h（x）单调递增；

当x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）单调递减.

∴x＝0是h（x）的唯一极大值点，

∴h（x）≤h（0）＝0，不满足f（x）≥g（x）恒成立；

当t＞1时，（1+x）t﹣1﹣1单调递增，

当x＝0时，h'（x）＝0

当x∈（﹣1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；

当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增.

∴x＝0是h（x）的唯一极小值点，

∴h（x）≥h（0）＝0，f（x）≥g（x）恒成立；

综上，t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）；

证明：（3）当a1＝a2，不等式显然成立；

当a1≠a2时，不妨设a1＜a2

则

令，x∈[a1，a2]

下证φ（x）是单调减函数：

∵

易知a1﹣a2∈（﹣1，0），1+a1﹣a2∈（0，1），

由（2）知当t＞1，（1+x）t＞1+tx，x∈[a1，a2]

∴

∴

∴

∴φ'（x）＜0，

∴φ（x）在[a1，a2]上单调递减.

∴φ（a1）＞φ（a2），

即

∴.

综上，成立.