Question

直线l过点M(2,1),且分别交x轴、y轴正半轴与A、B两点,O是坐标原点.

(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;

(2)当|MA|·|MB|取最小值时,求l的方程.

Answer 1

解：设直线l:y-1=k(x-2)(k＜0),则有A(2-,0)、B(0,1-2k).

(1)由三角形面积S=(1-2k)(2-),得4k²+2(S-2)k+1=0.

因为Δ=4(S-2)²-16≥0,

所以S≥4或S≤0(舍去).

又当S≥4时,k＜0,

所以△AOB面积的最小值为4.

此时,由4k²+4k+1=0,得k=-.

所以直线方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.

(2)因为|MA|·|MB|=·=2［-+(-k)］≥4(因为k＜0),当且仅当-k=-,即k=-1时,|MA|·|MB|取最小值4.此时直线方程为x+y-3=0.