Question

已知函数g(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是幂函数且在（0，+∞）上为减函数，函数f(x)=mx2+ax-

a

4

+

1

2

在区间[0，1]上的最大值为2，试求实数m，a的值．

Answer 1

分析：根据幂函数的定义和性质确定m，由函数f(x)=mx2+ax-

a

4

+

1

2

在区间[0，1]上的最大值为2，确定a．

解答：解：因为函数g(x)=(m2-m-1)xm2+2m-3是幂函数且在上为减函数，所以有

m2-m-1=1 m2+2m-3＜0

解得m=-1．
∴f(x)=-x2+ax-

a

4

+

1

2

=-(x-

a

2

)2+

1

2

-

a

4

+

a2

4

----------5’
①当

a

2

＜0，即a＜0时，[0，1]是f（x）的单调递减区间，
∴f(x)max=f(0)=

1

2

-

a

4

=2
∴a=-6＜0，
∴a=-6--------7’
②当0≤

a

2

＜1，即0≤a＜2时，f(x)max=f(

a

2

)=

1

2

-

a

4

+

a2

4

=2，
解得a=-2（舍）或a=3（舍）----------9’
③当

a

2

≥1，即a≥2时，[0，1]为f（x）的单调递增区间，
∴f(x)max=f(1)=-1+a-

a

4

+

1

2

=2，解得a=

10

3

--------11’
综合①②③可知a=-6或a=

10

3

--------12’

点评：本题主要考查幂函数的定义和性质以及二次函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的图象和性质的应用．