Question

12．等差数列{a_n}中，已知a₂=13，a₇=3
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）当数列{a_n}的前n项和S_n取最大值时，求n
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=13，a₇=3，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=13}\\{{a}_{1}+6d=3}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）由a_n≥0，解得n≤8．可得当n=8时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值．
（3）S_n=-n²+16n．当n≤8时，a_n＞0，|a_n|=a_n，T_n=S_n=-n²+16n．当n≥9时，a_n＜0，|a_n|=-a_n，T_n=a₁+a₂+…+a₈-a₉-…-a_n=2S₈-S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=13，a₇=3，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=13}\\{{a}_{1}+6d=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=15}\\{d=-2}\end{array}\right.$．
∴a_n=15-2（n-1）=17-2n．
（2）由a_n≥0，解得n≤8．
∴当n=8时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值．
（3）S_n=$\frac{n（15+17-2n）}{2}$=-n²+16n．
当n≤8时，a_n＞0，|a_n|=a_n，T_n=S_n=-n²+16n．
当n≥9时，a_n＜0，|a_n|=-a_n，
T_n=a₁+a₂+…+a₈-a₉-…-a_n
=2S₈-S_n
=2×（-8²+16×8）-（-n²+16n）
=n²-16n+128．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+16n，n≤8}\\{{n}^{2}-16n+128，n≥9}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、含绝对值数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．