Question

已知数列{a_n}，a_n∈N^*，前n项和S_n=

1

8

（a_n+2）²．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=

1

2

a_n-30，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1
=S_n+1-S_n
=

1

8

（a_n+1+2）²-

1

8

（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．
∵a_n∈N^*，∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-4=0．
即a_n+1-a_n=4，∴数列{a_n}是等差数列．
（2）由（1）知a₁=S₁=

1

8

（a₁+2），解得a₁=2．∴a_n=4n-2，
b_n=

1

2

a_n-30=2n-31，（以下用两种方法求解）
法一：
由b_n=2n-31可得：首项b₁=-29，公差d=2
∴数列{b_n}的前n项和s_n=n²-30n=（n-15）²-225
∴当n=15时，s_n=225为最小；
法二：
由

2n-31≤0 2(n+1)-31≥

0得

29

2

≤n＜

31

2

．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15项为负值，以后各项均为正值．
∴S_5最小．又b₁=-29，
∴S₁₅=

15(-29+2×15-31)

2

=-225