Question

已知F₁、F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足。设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中λ∈。
（1） 求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）过A、B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围。

Answer 1

解：（1）由于
∴
解得
从而所求椭圆的方程是
∵
∴A，B，N三点共线
而点N的坐标为（-2，0）
设直线AB的方程为
其中k为直线AB的斜率，依条件知k＞0
由消去x得
即
根据条件可知
解得
设
根据韦达定理得，
又由得
∴
从而消去y₂得
令
则
由于
所以
∴在区间上是减函数
从而
即
∴
解得
而
∴
因此直线AB的斜率的取值范围是；
（2）上半椭圆的方程为
且
求导可得
所以两条切线的斜率分别为，
切线PA的方程是
即
又
从而切线PA的方程为
同理可得切线PB的方程为
由
可解得点P的坐标满足
再由得
∴
又由（1）知
∴
因此点P在定直线上，并且点P的纵坐标的取值范围是。