Question

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角．动点D在斜边AB上．
（1）求证：CO⊥平面AOB；
（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；
（3）求CD与平面AOB所成的角最大时的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲证平面COD⊥平面AOB，先证直线与平面垂直，由题意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB．
（2）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D为AB的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，利用解三角形的有关知识夹角问题即可．
（3）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（3）问作铺垫的．求直线与平面所成的角，首先要作出这个平面的垂线，由第（1）问可知：CO⊥平面AOB，所以∠CDO是CD与平面AOB所成的角，tan∠CDO=

OC

OD

=

2

OD

，当OD最小时，tan∠CDO最大．

解答：解：（1）由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
（2）作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，所以DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO2+OE2

=

5

．
又 DE=

1

2

AO=

3

．
∴CD=

CE2+DE2

=2

2

，
∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

3

2 2

=

6

4

．
∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为

6

4

，
所以异面直线AO与CD所成角的正切值大小为

15

3

．
（3）由（1）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，并且tanCDO=

OC

OD

=

2

OD

，
当OD最小时，∠CDO最大，这时，OD⊥AB，垂足为D，
所以OD=

OA•OB

AB

=

3

，
所以tanCDO=

2 3

3

，
∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为

2 3

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、异面直线所成的角的度量、线面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力