Question

如图，在Rt△AOB中，∠OAB=

π

6

，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C为直二面角．D是AB的中点．
（I）求证：平面COD⊥平面AOB；
（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证平面COD⊥平面AOB，先证直线与平面垂直，由题意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB．
（2）求异面直线所成的角，需要将两条异面直线平移交于一点，由D为AB的中点，故平移时很容易应联想到中位线，作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，则DE∥AO，所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，利用解三角形的有关知识夹角问题即可．

解答：解：（1）∵Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到
∴CO⊥AO，BO⊥AO
又∵二面角B-AO-C是直二面角
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角
∴∠BOC=90°
∴CO⊥BO，又AO∩BO=O
∴CO⊥平面AOB
∵CO?面COD
∴平面COD⊥平面AOB
（2）作DE⊥OB，垂足为E，连接CE，所以DE∥AO
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=2，OE=

1

2

BO=1
∴CE=

CO2+ OE2

=

5

又∵DE=

1

2

AO=

3

∴CD=

CE2+DE2

=2

2

∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

6

4

∴异面直线AO与CD所成角为arcos

6

4

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、异面直线所成的角的度量、线面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力!