题目内容

已知a，b，c均为正数，证明：a2+b2+c2+(
1
a
+
1
b
+
1
c
)2≥6
3
．
分析：两次运用基本不等式即可证明结论．
解答：证明：∵a，b，c均为正数，
∴左边≥3
3a2b2c2
+(3
3
1
abc
)2≥2
3
3a2b2c2
•(3
3
1
abc
)2
=2
27
=6
3
，
当且仅当a=b=c时取等号，
∴a2+b2+c2+(
1
a
+
1
b
+
1
c
)2≥6
3
．
点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c均为正实数，记M=max{
1
ac
+b，
1
a
+bc，
a
b
+c}，则M的最小值为
2
2
．
（2013•浦东新区二模）已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c
（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{an }，且它们的和为2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn，求满足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{Xn}满足
5
Xn=(
c
a
)n-(-
a
c
)n（n∈N+），证明：数列{
Xn
 }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且Xn是正整数．
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t为参数），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=
π
3
时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
的最大值．

已知a，b，c均为正实数，记，则M的最小值为     ．

 

已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c
（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{an }，且它们的和为2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且数学公式，求满足不等式数学公式的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{Xn}满足数学公式（n∈N+），证明：数列{数学公式 }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且Xn是正整数．

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