题目内容
（2013•浦东新区二模）已知直角△ABC的三边长a，b，c，满足a≤b＜c
（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{an }，且它们的和为2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn，求满足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{Xn}满足
Xn=(
)n-(-
)n（n∈N+），证明：数列{
}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且Xn是正整数．
（1）在a，b之间插入2011个数，使这2013个数构成以a为首项的等差数列{an }，且它们的和为2013，求c的最小值；
（2）已知a，b，c均为正整数，且a，b，c成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S1，S2，S3，…Sn，且Tn=-S1+S2-S3+…+(-1) nSn，求满足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）已知a，b，c成等比数列，若数列{Xn}满足
| 5 |
| c |
| a |
| a |
| c |
| Xn |
分析：（1）由等差数列的前2013项的和求出a+b的值，利用勾股定理写出c2=a2+b2，然后利用基本不等式求c的最小值；
（2）设出三角形三边的公差，由勾股定理求得三边与公差的关系，把面积用公差表示，则Sn可求，把Sn代入
T2n=-S1+S2-S3+…+S2n后，先裂项后利用等差数列求和公式求和，得到Tn后结合二项展开式的系数和取值验证求得满足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）由a，b，c成等比数列，结合直角三角形中边的关系求出
，代入
Xn=(
)n-(-
)n后整理，进一步得到
Xn+
Xn+1=
Xn+2，由此可证数列{
}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且Xn是正整数．
（2）设出三角形三边的公差，由勾股定理求得三边与公差的关系，把面积用公差表示，则Sn可求，把Sn代入
T2n=-S1+S2-S3+…+S2n后，先裂项后利用等差数列求和公式求和，得到Tn后结合二项展开式的系数和取值验证求得满足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值；
（3）由a，b，c成等比数列，结合直角三角形中边的关系求出
| c |
| a |
| 5 |
| c |
| a |
| a |
| c |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| Xn |
解答：（1）解：{an}是等差数列，∴
=2013，即a+b=2．
所以c2=a2+b2=
≥
=
=2，
所以c的最小值为
；
（2）解：设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a2+（a+d）2=（a+2d）2
∴a=3d．
设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积Sd=
×3d×4d=6d2(d∈Z)，则Sn=6n2，
T2n=-S1+S2-S3+…+S2n
=6[-12+22-32+42-…+（2n）2]
=6（1+2+3+4+…+2n）=12n2+6n．
由T2n＞6•2n+1得n2+
n＞2n，
当n≥5时，2n=1+n+
+…≥2+2n+(n2-n)＞n2+
n，
经检验当n=2，3，4时，n2+
n＞2n，当n=1时，n2+
n＜2n．
综上所述，满足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值为2、3、4．
（3）证明：因为a，b，c成等比数列，∴b2=ac．
由于a，b，c为直角三角形的三边长，知a2+ac=c2，∴
=
，
又
Xn=(
)n-(-
)n(n∈N*)，得
Xn=(
)n-(
)n，
于是
Xn+
Xn+1=(
)n-(
)n+(
)n+1-(
)n+1
=(
)n+2-(
)n+2=
Xn+2．
∴Xn+Xn+1=Xn+2，则有(
)2+(
)2=(
)2．
故数列{
}中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形．
因为
X1=
[(
)1-(
)1]=1，
X2=
[(
)2-(
)2]=1，
⇒X3=X1+X2=2∈N*，
由Xn+Xn+1=Xn+2，同理可得Xn∈N*，Xn+1∈N*⇒Xn+2∈N*，
故对于任意的n∈N*都有Xn是正整数．
| 2013(a+b) |
| 2 |
所以c2=a2+b2=
| 2(a2+b2) |
| 2 |
| (a+b)2 |
| 2 |
| 22 |
| 2 |
所以c的最小值为
| 2 |
（2）解：设a，b，c的公差为d（d∈Z），则a2+（a+d）2=（a+2d）2
∴a=3d．
设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积Sd=
| 1 |
| 2 |
T2n=-S1+S2-S3+…+S2n
=6[-12+22-32+42-…+（2n）2]
=6（1+2+3+4+…+2n）=12n2+6n．
由T2n＞6•2n+1得n2+
| 1 |
| 2 |
当n≥5时，2n=1+n+
| n(n-1) |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
经检验当n=2，3，4时，n2+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
综上所述，满足不等式T2n＞6•2n+1的所有n的值为2、3、4．
（3）证明：因为a，b，c成等比数列，∴b2=ac．
由于a，b，c为直角三角形的三边长，知a2+ac=c2，∴
| c |
| a |
1+
| ||
| 2 |
又
| 5 |
| c |
| a |
| a |
| c |
| 5 |
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
于是
| 5 |
| 5 |
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
=(
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
| 5 |
∴Xn+Xn+1=Xn+2，则有(
| Xn |
| Xn+1 |
| Xn+2 |
故数列{
| Xn |
因为
X1=
| ||
| 5 |
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
X2=
| ||
| 5 |
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
⇒X3=X1+X2=2∈N*，
由Xn+Xn+1=Xn+2，同理可得Xn∈N*，Xn+1∈N*⇒Xn+2∈N*，
故对于任意的n∈N*都有Xn是正整数．
点评：本题以直角三角形边的关系为载体，考查了等差数列的前n项和公式，考查了利用基本不等式求最值，考查了用裂项法求数列的和，训练了利用二项展开式的二项式系数比较不等式的大小，此题综合性强，难度较大．
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