Question

给出下列说法：
①存在实数x，使sinx+cosx=

π

3

；
②若α，β是锐角三角形的内角，则sinα＞cosβ；
③为了得到函数y=sin（2x-

π

3

）的图象，只需把函数y=sin（2x+

π

6

的图象向右平移

π

2

个长度单位；
④函数y=|sin2x|的最小正周期为π；
⑤在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B．
其中正确说法的序号是

①②⑤

．

Answer 1

分析：①利用三角函数的辅助角公式求出函数的最值．②利用锐角三角形的关系确定α，β的关系，然后利用三角函数的单调性判断．
③利用三角函数的图象平移进行推导．④利用三角函数的周期和绝对值函数的周期关系判断．⑤利用余弦函数的单调性判断．

解答：解：①因为sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，所以函数

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，因为

π

3

∈[-

2

，

2

]，
所以存在实数x，使sinx+cosx=

π

3

，所以①正确．
②因为α，β是锐角三角形的内角，所以π-α-β＜

π

2

，即α+β＞

π

2

，所以α＞

π

2

-β＞0因为y=sinx在（0，

π

2

）单调递增，所以得sinα＞sin（

π

2

-β），即sinα＞cosβ，所以②正确．
③把函数y=sin（2x+

π

6

的图象向右平移

π

2

个长度单位，得到函数为y=sin[2(x-

π

2

)+

π

6

]=sin(2x-

5π

6

)，所以③错误．
④因为y=sin2x的最小正周期为π，所以y=|sin2x|的最小正周期为

π

2

，所以④错误．
⑤在三角形中，由cos2A=cos2B，得2A=2B，所以A=B，所以⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角基本运算，要求熟练掌握相应的运算公式．