Question

（本题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知⊙：和⊙：

⑴若直线过点，且被⊙截得的弦长为，求直线的方程；

⑵设为平面上的点，满足：过点的任意互相垂直的直线和，只要和与⊙和⊙分别相交，必有直线被⊙截得的弦长与直线被⊙截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标；

⑶将⑵的直线和互相垂直改为直线和所成的角为，其余条件不变，直接写出所有这样的点的坐标。（直线与直线所成的角与两条异面直线所成的角类似，只取较小的角度。）

Answer 1

（本题满分14分）

解：(1)当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即

由垂径定理，得：圆心到直线的距离，

结合点到直线距离公式，得： 

解得：或

求直线的方程为：或，即或    ………………4分

(2) 方法一：从形入手。由题意知任意的互相垂直的和均使所截得的弦长相等，我们考虑特殊情况，当互相垂直的和分别过⊙、⊙的圆心时，此时的时等腰直角三角形，可以解得这样的点的坐标分别为、，   ………………6分

下面对这两点加以检验。

①当为时，根据题意斜率必然存在，设：

：，   ：

  点到的距离为，点到的距离为，所以，

有两圆半径相等，所以，即直线被⊙截得的弦长与直线被⊙截得的弦长相等。

   同理可以检验，也满足题意。                       ………………12分

方法二：

设点P坐标为，直线、的方程分别为：

，即：，

因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：圆心到直线与直线的距离相等，

故有：

化简得： 或

即：，或

关于的方程有无穷多解，有：或

解之得：点P坐标为或。

又检验当斜率不存在时，对题意不影响。                ………………12分

⑶有四个点，它们的坐标分别为：、、、

                                                          ………………14分