Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、AA₁的中点，求证：
（1）BD₁∥平面AEC；
（2）平面BD₁F∥平面AEC．

Answer 1

证明：（1）连接BD交AC于H，连EH．
因为H为正方形ABCD对角线的交点，
所长H为AC、BD的中点．
在△DD₁B中，E、H分别为DD₁、DB的中点，
所以EH∥D₁B．
又EH?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．
（2）因为F、E分别为A₁A、DD₁的中点，所以AF∥ED₁，AF=ED₁，
所以四边形AFD₁E为平行四边形，FD₁∥AE，AE?平面AEC，FD₁?平面AEC，
所以FD₁∥平面AEC，
由（1）知，BD₁∥平面AEC，且BD₁∩FD₁=D₁，
所以平面BD₁F∥平面AEC．
分析：（1）欲证BD₁∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线与BD₁平行，根据中位线定理可找到满足条件的直线得到结论；
（2）要证明平面BD₁F∥平面AEC，只需证明平面BD₁F中两相交直线分别平行平面AEC，由（1）知BD₁∥平面EAC，故只证明FD₁∥平面AEC，由平行四边形的性质可证．
点评：本题考查线面平行、面面平行的判定，考查学生的推理论证能力，相关定理是证明空间线面位置关系的基础．