题目内容
（2010•安徽模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（ ）
分析：可利用余弦定理将cosB与cosC化为边的关系，
解答：解法1：∵cosB =
，cosC =
，
∴acosB+acosC=a•
+a•
=
=
=
=b+c，∵b+c＞0，
∴a2-b2-c2+2bc=2bc，
∴a2=b2+c2，
故选D．
解法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b，
∴acosB+acosC≤b+c，
又∵acosB+acosC=b+c，
∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°；
故选D．
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
∴acosB+acosC=a•
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| a2•b +b•c2-b3+b2• c+a2•c-c3 |
| 2bc |
| a2(b +c)+bc(b+c)-b3-c3 |
| 2bc |
=
| a2(b +c)+bc(b+c)-(b+c)(b2-bc+c2) |
| 2bc |
∴a2-b2-c2+2bc=2bc，
∴a2=b2+c2，
故选D．
解法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b，
∴acosB+acosC≤b+c，
又∵acosB+acosC=b+c，
∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°；
故选D．
点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理与化简运算的能力，属于中档题．
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