Question

设f（x）=

x

ax+b

（a，b为非零常数）满足f（2）=1，f（x）=x有唯一解，求函数y=f（x）的解析式和f[f（-3）]的值．

Answer 1

分析：利用已知条件列出关于字母a，b的方程组，通过求解方程组确定出函数的解析式．注意待定系数法的运用，先计算出f（-3），再求出f[f（-3）]的值．

解答：解：∵f（2）=1，
∴

2

2a+b

=1，即2a+b=2．①
又∵f（x）=x有唯一解，
即

x

ax+b

=x有唯一解，
∴x•

ax+b-1

ax+b

=0有唯一解．
而x₁=0，x₂=

1-b

a

，
∴

1-b

a

=0．②
由①②知a=

1

2

，b=1．
∴f（x）=

x

1 2 x+1

=

2x

x+2

．
∴f[f（-3）]=f[

2×(-3)

-3+2

]=f（6）=

2×6

6+2

=

3

2

．

点评：本题考查函数解析式的求解，考查方程思想．考查二次方程有等根的条件．注意待定系数法的运用，考查运算能力．