Question

13．在凸四边形ABCD中，对角线BD不平分对角中的任意一个．点P在四边形ABCD内部，并且满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA．若A，B，C，D四点共圆，证明：AP=CP．

Answer 1

分析 设直线DP、BP分别交四边形ABCD的外接圆于E、F两点，由已知条件推导出四边形BEFD、四边形BECA均为等腰梯形，从而得到点P在AC的中垂线上，由此能证明AP=CP．

解答 证明：设直线DP、BP分别交四边形ABCD的外接圆于E、F两点，
连结EB、EC、EF、FC、FD，
∵∠PBC=∠DBA，∴FC=AD，∴DF∥AC，
∵∠PDC=∠BDA，∴EC=BA，∴BE∥AC，
∴BE∥DF，
∴四边形BEFD、四边形BECA均为等腰梯形，且这两个等腰梯形有共同的对称轴，
∵P是等腰梯形BEFD的对角线的交点，
∴P一定在BE的中垂线上，∴点P在AC的中垂线上，
∴AP=CP．

点评 本题考查线段相等的证明，是中档题，等腰梯形上底的中垂线也是下度的中垂线这个性质，一般很少用作证题的依据，本题中用它证明线段相等新颖、巧妙，不落俗套．