Question

设数列的前n项和为，已知， ，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，，证明：.

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查等比数列的通项公式、配凑法求通项公式、错位相减法求和等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力，考查转化能力和计算能力.第一问，已知条件中只有一个等式，利用，用代替式子中的，得到一个新的表达式，两个式子相减得到，再用配凑法，凑出等比数列，求出数列的通项公式；第二问，利用第一问的结论，先化简表达式，再利用错位相减法求数列的前n项和，最后的结果与2比较大小.
试题解析：（Ⅰ）∵，当时
∴              2分
∴　即　 （）　　
又　∴　∴　　
∴　　即　　　　　　　　            6分
（Ⅱ）∵　　∴      8分
∴，　
∴            12分求；2 配凑法求通项公式；3 等比数列的通项公式；4 错位相减法