题目内容

已知定义在R上的函数f（x）满足 $数学公式$ ，且函数 $数学公式$ 为奇函数，给出三个结论：
①f（x）是周期函数；②f（x）是图象关于点（ $数学公式$ ，0）对称；③f（x）是偶函数．其中正确结论的个数为

A.
3
B.
2
C.
1
D.
O

A
分析：①函数f（x）满足 $\text{[math]}$ ，则f（x+3）=- $\text{[math]}$ ，故f（x）是周期函数；
②函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，可得 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，故f（x）是图象关于点（ $\text{[math]}$ ，0）对称；
③由 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，可得f（-x）=- $\text{[math]}$ ，即f（x）是偶函数．
解答：函数f（x）满足 $\text{[math]}$ ，则f（x+3）=- $\text{[math]}$ ，∴f（x）是周期函数，故①正确；
∵函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，∴f（x）是图象关于点（ $\text{[math]}$ ，0）对称，故②正确；
∵ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，∴f（-x）=- $\text{[math]}$ ，∴f（x）是偶函数，故③正确
综上，正确结论的个数为3个
故选A．
点评：本题考查抽象函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．