Question

甲、乙两人独立地破译1个密码,他们能译出密码的概率分别为和.

求:(1)有且只有甲一人译出密码的概率;

(2)甲和乙至多有一人译出密码的概率;

(3)若要使译出密码的概率不小于,而且全用像乙这样的人,问至少需要多少人?

 

Answer 1

解:记“甲译出密码”为事件A,“甲译不出密码”为事件;“乙译出密码”为事件B,“乙译不出密码”为事件.

(1)“有且只有甲一人译出密码”为事件A₁,则由于甲、乙两人独立地破译密码,为相互独立事件,所以事件A₁发生是指事件A和B同时发生,从而有P(A₁)=P(A·)=P(A)·P()=×(1-)=.

(2)“甲和乙至多有一人译出密码”为事件A₂,则事件的对立事件是“甲、乙两人都译出密码”,即A₂=A·B.从而有P(A₂)=1-P()=1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-×=.

(3)设至少需要n个人,则由于n个像乙这样的人都译不出密码的概率为(1-)ⁿ,根据题意,得n个像乙这样的人译出密码的概率满足1-(1-)ⁿ≥,即3ⁿ≥100(n∈N^*).

解得n≥5,且n∈N^*.因此需要像乙这样的人至少5人.