题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）当 $数学公式$ 时，若函数g（x）=f（x）+m有零点，求m的范围；
（3）若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求sin（2x₀）的值．

解：（1）∵f（x）=sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x+2=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+2（3分）
令2x+ $\text{[math]}$ 可得： $\text{[math]}$ ，
∴对称轴方程为： $\text{[math]}$ ，．（4分）
（2）∵ $\text{[math]}$ 2x+ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （7分）
∵函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解．（8分）
即-m $\text{[math]}$ ，m $\text{[math]}$ ．（9分）
（3） $\text{[math]}$ 即2sin（ $\text{[math]}$ +2= $\text{[math]}$ 即sin（ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （10分）
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （11分）
∴ $\text{[math]}$ （12分）
∴ $\text{[math]}$ （13分）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （15分）
分析：利用辅助角公式可得f（x）=sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x+2=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+2
（1）令2x+ $\text{[math]}$ 可得对称轴方程为： $\text{[math]}$
（2）由 $\text{[math]}$ 可得2x+ $\text{[math]}$ ，从而可得∴ $\text{[math]}$
而函数g（x）=f（x）+m有零点，即f（x）=-m有解，可转化为y=f（x）与y=-m有交点，结合图象可得-m $\text{[math]}$ ，
m $\text{[math]}$
（3）由已知可得 $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ 可求 $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ 利用两角差的正弦公式可求
点评：本题主要考查了辅助角公式asix+bcosx= $\text{[math]}$ 的应用，正弦函数的对称轴的求解，方程与函数的相互转化，利用拆角求解三角函数值，是一道综合性比较好的试题．