Question

【题目】如图，椭圆 过点，其左、右焦点分别为，离心率， 是椭圆右准线上的两个动点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值；

（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）；（3）圆过定点，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）因为，且过点，列出关于的方程，解得，最后写出椭圆方程即可；（2）设点写出向量的坐标，利用向量的数量积得到，又，结合基本不等式即可求得最小值；（3）利用圆心的坐标和半径得出圆的方程，再令，得从而得出圆过定点.

试题解析：（1） ，且过点，

解得 椭圆方程为.

（2）设点 则 ，

， 又，

的最小值为．

（3）圆心的坐标为，半径.

圆的方程为，

整理得： .

，

令，得， . 圆过定点.