Question

已知数列 {a_n}，其中a₂=6且 

an+1+an-1

an+1-an+1

=n．
（1）求a₁，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求

lim

n→∞

（

1

a2-2

+

1

a3-3

+…+

1

an-n

 ）．

Answer 1

分析：（1）由a₂=6，

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，可求得a₁=1，a₃=15，a₄=28．
（2）由（1）可猜想a_n=n（2n-1），然后用数学归纳法证明即可；
（3））先用裂项法求得

1

an-n

=

1

2

[

1

n-1

-

1

n

]，从而得到

1

a2-2

+

1

a3-3

+…+

1

an-n

=

1

2

（1-

1

n

），再取极限即可得答案．

解答：解：（1）∵a₂=6且 

an+1+an-1

an+1-an+1

=n，
∴

a2+a1-1

a2-a1+1

=1，

a3+a2-1

a3-a2+1

=2，

a，4+a3-1

a4-a3+1

=3，..1′
解得a₁=1，a₃=15，a₄=28，…3′
（2）由此猜想a_n=n（2n-1）…4′
下面用数学归纳法加以证明：
①当n=1时，a₁=1×（2×1-1）=1，结论正确；
当n=2时，a₂=2×（2×2-1）=6，结论正确；…5′
②假设n=k（k≥2）时结论正确，即a_k=k（2k-1），
则当n=k+1时，
∵

ak+1+ak-1

ak+1-ak+1

=k，
∴（k-1）a_k+1=（k+1）a_k-（k+1）
=（k+1）k（2k-1）-（k+1）
=（k+1）（2k²-k-1）
=（k+1）（2k+1）（k-1），
∵k-1≠0，
∴a_k+1=（k+1）（2k+1）=（k+1）[2（k+1）-1]，
即当n=k+1时，结论正确…7′
由①②可知，数列{a_n}的通项公式为：a_n=n（2n-1）…8′
（3）∵

1

an-n

=

1

2n(n-1)

=

1

2

[

1

n-1

-

1

n

]…10′
∴

lim

n→∞

（

1

a2-2

+

1

a3-3

+…+

1

an-n

 ）=

lim

n→∞

1

2

（1-

1

n

）=

1

2

…12′

点评：本题考查数学归纳法，归纳猜想出a_n=n（2n-1）是关键，着重考查数学归纳法的证明与裂项法求和，考查运算能力，属于中档题．