Question

设函数f(x)是定义在[－1，0)∪(0，1]上的偶函数，当x∈[－1，0)时，f(x)＝x³－ax(a∈R)．

(1)当x∈(0，1]时，求f(x)的解析式；

(2)若a＞3，试判断f(x)在(0，1]上的单调性，并证明你的结论；

(3)是否存在a，使得当x∈(0，1]时，f(x)有最大值1？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)， 　　∴f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝ax－x3． 　　又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)＝ax－x3． 　　(2)f(x)在(0，1]上单调递增．理由如下：(x)＝－3x2＋a．∵x∈(0，1]，∴x2∈(0，1]． 　　∴－3x2≥－3． 　　∵a＞3，∴－3x2＋a＞0．故f(x)在(0，1]上为增函数． 　　(3)假设存在a，使得当x∈(0，1]时，f(x)有最大值1． 　　∴(x)＝a－3x2．令(x)＝0，∴－3x2＋a＝0， 　　即a＞0时，x＝±．又∵x∈(0，1]，∴x＝且＜1．∴(x)在(0，)上大于0，在(，1)上不小于0． 　　∴f(x)极大值＝ 　　∴a＝时，f(x)有最大值1． 　　分析：此题具有较强的综合性，应注意知识之间的相互转化和相互联系． 　　绿色通道：关于存在性问题，处理的方法可以先假设存在，再寻找所得的结论．