Question

如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB=2BF_iDE丄平面ABCD，G为EF中点．
（1）求证：CF∥平面
（2）求证：平面ASG丄平面CDG；
（3）求二面角C-FG-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用平面BCF中，有两条相交直线BC和BF平行于两一个平面中的两条相交直线 AD 和DE，得到平面BCF∥平面ADE，再由面面平行的性质得到CF∥平面；
（2）由勾股定理 求得GM、GN的长，证明GM⊥GN，利用等腰三江凹形的性质证明GN⊥CD，从而GN⊥AB，得到 GN垂直于平面ABG，从而证得平面ABG丄平面CDG；
（3）由已知中由已知可得CG⊥FG，结合（2）中结论GO⊥EF，由二面角的定义可得：∠CGO为二面角C-FG-B的平面角，解三角形CGO，即可得到二面角C-FG-B的余弦值．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，
∴BC∥AD，BF∥DE，
∵平面BCF中，有两条相交直线BC，BF平行于两一个平面中的两条相交直线 AD，DE，
故有平面BCF∥平面ADE，
∴CF∥平面ADE．
（2）取AB的中点M，CD的中点N．
∵AB=2BF，设BF=1，则AB=2．
∵DE丄平面ABCD，
可得面BDEF⊥面ABCD．
设AC 和BD交于点 O，则GO⊥面ABCD．
∴GM=

GO2+OM2

=

2

=GN，又 MN=2，
∴由勾股定理可得 GM⊥GN．
由G为EF中点，可得GC=GD=

2

，
∴GN⊥CD，GN⊥AB．
这样面CDG中的直线GN垂直于平面GAB内的两条相交直线AB和 GM，
∴平面ABG丄平面CDG．
（3）由已知可得CG⊥FG，由（2）GO⊥EF
∴∠CGO为二面角C-FG-B的平面角
∴cos∠CGO=

OG

CG

=

3

3

点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，线面平行、面面垂直的判定定理，证明GN垂直于平面ABG，是解题的难点和关键．