Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点．
（1）当直线l的斜率为$\frac{1}{2}$时，求线段AB的长度；
（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，代入椭圆方程，解方程可得交点坐标，由两点 的距离公式即可得到弦长；
（2）运用点差法，求得直线的斜率，即可得到直线方程．

解答 解：（1）直线l的方程为y-2=$\frac{1}{2}$（x-4），即为y=$\frac{1}{2}$x，
代入椭圆方程x²+4y²=36，可得
x=±3$\sqrt{2}$，y=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
即有|AB|=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{10}$；
（2）由P的坐标，可得$\frac{16}{36}$+$\frac{4}{9}$＜1，可得P在椭圆内，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，①$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1，②
由中点坐标公式可得x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，③
由①-②可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$=0，④
将③代入④，可得
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
则所求直线的方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），
即为x+2y-8=0．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题．