Question

10．已知函数f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）=ln（2+$\sqrt{5}$），求x的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，再根据f（-x）=-f（x）即可证明；
（2）根据函数值，得到ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（2+$\sqrt{5}$），解的即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴函数的定义域为R，
∴f（-x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（$\frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}$）=-ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）∵f（x）=ln（2+$\sqrt{5}$），
∴ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（2+$\sqrt{5}$），
∴x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$=2+$\sqrt{5}$，
解的x=2．

点评 本题考查了函数的奇偶性的判断和函数值的求法，属于基础题．