Question

设的两个极值点．
（1）若x₁=-2，x₂=1，求a，b的值；
（2）若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若x₁²+x₂²=6+4b²，且b＞0，设，T_n为数列a_n的前n项和，求证：T_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出其导函数f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a，利用条件把x₁=-2，x₂=1转化为方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根，再利用根与系数的关系即可求a，b的值；
（2）先利用其导函数f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a以及a＞0得f（x）在（x₁，x₂）上单调递减，故有x₁≤x≤x₂时，f（x）≥f（x₂）=f（a）；不等式6f（x）+11a²≥0恒成立?6f（a）+11a²≥0①，再利用f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1②，①②相结合即可求实数b的取值范围；
（3）先利用x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根以及x₁²+x₂²=6+4b²得b²=4a²，进而得b=2a，代入得=即可证明结论．
解答：解：（1）∵
∴f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a（2分）
依题意x₁=-2，x₂=1是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根
则
解之可得：（4分）
（2）由（1）f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a＞0得x＞x₁或x＜x₂
∴f（x）在（x₁，x₂）上单调递减
∴x₁≤x≤x₂时，f（x）≥f（x₂）=f（a）（5分）
由题f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1（6分）
若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立?6f（a）+11a²≥0（7分）
?2a⁴+3ba²-6（2b²+1）a²+11a²≥0?2a²+3b-12b²+5≥0?2（2b²-b+1）+3b-12b²+5≥0?8b²-b-7≤0?
故实数b的取值范围为（9分）
（3）依题意x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的两根，则
而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴∴b²=4a²（10分）
又a＞0，b＞0，
∴b=2a而f'（n）=an²+bn-（2b²+1）a=an²+2an-（8a³+a）
∴（11分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及导数在最大值、最小值问题中的应用和数列的求和问题，是对知识的综合考查，属于难题．