Question

已知抛物线y²=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．

Answer 1

解：（1）由方程y²=﹣x，y=k（x+1）
消去x后，整理得ky²+y﹣k=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由韦达定理y₁y₂=﹣1．
∵A、B在抛物线y²=﹣x上，
∴y₁²=﹣x₁，y₂²=﹣x₂，y₁²y₂²=x₁x₂．
∵k_OAk_OB====﹣1，
∴OA⊥OB．
（2）设直线与x轴交于N，
又显然k≠0，
∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN=|ON||y₁|+|ON||y₂|=|ON||y₁﹣y₂|，
∴S_△OAB=1=．
∵S_△OAB=，
∴=．
解得k=±．