Question

已知函数， ．

（Ⅰ）如果函数在上是单调函数，求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由

 

Answer 1

【答案】

Ⅰ）当时，,符合题意．---------1分

当时，的对称轴方程为，-------2分

由于在上是单调函数，所以，解得或，

综上，a的取值范围是，或．           …………………………4分

（Ⅱ），---------5分

因在区间（）内有两个不同的零点,所以，

即方程在区间（）内有两个不同的实根．  …………6分

设 ，   

   ………7分

      令，因为为正数，解得或（舍） 

   当时, ,  是减函数；  

当时, ，是增函数．           …………………………8分

为满足题意，只需在（）内有两个不相等的零点, 故

         解得  

【解析】(I)本题转化为在上恒小于等于零或恒大于等于零.

(II)求出的解析式，然后研究其在区间内的单调性和极值，画出其画图，数形结合求解.