Question

【题目】如图,四边形中, = == 分别在上, ,现将四边形沿折起,使.

(1)若,在折叠后的线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;

(2)求三棱锥的体积的最大值,并求出此时点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）点到平面的距离为.

【解析】试题分析：本题考查空间线面关系的判定与证明、体积公式的应用.(1)把平面转化为线线平行,再利用线线平行的性质即可得出结论,也可以先分析出结论,再进行证明;(2)先根据题意得到= =， 时，体积有最大值，此时可得到=，再利用三棱锥体积公式,利用等体积的方法借助转换顶点的方法求出三棱锥的高即可.

解析：

(1) 上存在一点,使得平面,

此时.

理由如下:

当时, ,

过点作交于点,连结,

则有==,

∵,可得,

故,

又,

故有,

故四边形为平行四边形,

∴,

又∴平面平面,

故有∴平面成立.

(2)设,

∴= = ,

故= =,

∴当时, 有最大值,且最大值为3,

此时=,

在中,由余弦定理得

===,

∴=,

= =,

设点到平面的距离为,

由于,

即=,

∴=,即点到平面的距离为.