Question

已知函数，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n≥2，n∈N⁺）．
（Ⅰ）若，数列{b_n}满足，求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）若，数列{a_n}中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若1＜a₁＜2，试证明：1＜a_n+1＜a_n＜2．

Answer 1

解：∵，则（n≥2，n?N^*）．
（Ⅰ），，
∴．
∴数列{b_n}是等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{b_n}是等差数列，首项，公差为1，
则其通项公式，
由得，
故．
考查函数，
则．
则函数在区间，上为减函数．
∴当时，，
且在上递减，故当n=3时，a_n取最小值
∴；
当时，，
且在上递减，故当n=4时，a_n取最大值．故存在．

（Ⅲ）先用数学归纳法证明1＜a_n＜2，再证明a_n+1＜a_n．
①当n=1时，1＜a₁＜2成立，
②假设n=k时命题成立，即1＜a_k＜2，
则当n=k+1时，，，则1＜a_k+1＜2，故当n=k+1时也成立．
综合①②有，命题对任意n?N^*时成立，即1＜a_n＜2．下证a_n+1＜a_n．
∵，
∴a_n+1＜a_n．
综上所述：1＜a_n+1＜a_n＜2．
分析：（Ⅰ）根据题设中的函数式，求得a_n和a_n-1的递推式，进而利用b_n-b_n-1=1判断出数列{b_n}是等差数列．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）可求得，数列{b_n}的通项公式，则b_n可得，通过对函数求导判断出则函数在区间，上为减函数．且在上递减，故当n=3时，a_n取最小值进而可知当时，，且在上递减，故当n=4时，a_n取最大值．
（Ⅲ）先看当n=1时等式成立，再看n≥2时，假设n=k时命题成立，即1＜a_k＜2，则当n=k+1时，，则1＜a_k+1＜2，故当n=k+1时也成立．进而a_n+1-a_n＜0判断出a_n+1＜a_n．
最后综合可证明原式．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，数学归纳法的证明方法．考查了学生综合分析问题的能力和基本的推理能力．