Question

在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=

1

2

AB=1，将△ADC 沿AC折起，使D到D′．若二面角D′-AC-B为60°，则三棱锥D′-ABC的体积为

6

12

．

Answer 1

分析：欲求三棱锥D′-ABC的体积，只需找到它的底面与高，因为三角形ABC的面积易求，所以只需求出D′到平面ABC的距离即可，由（1）可知，即求线段D′E的长度，可放入三角形中，通过解三角形得到，这样，三棱锥体积可求．

解答：解：设面ACD′为α，面ABC为β，取AC的中点E，连接D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，连接OE，则D′E⊥AC
∵AC⊥D′E，∴AC⊥OE
∴∠D′EO为二面角a-AC-β的平面角，∴∠D′EO=60°
在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，
∴AC=

2

，∠CAB=45°，∴D′E=

1

2

AC=

2

2

，
在直角△D′OE中，D′E=

2

2

，∴D′O=

6

4

∴VD-ABC=

1

3

S△ABC•D′O=

1

3

×

1

2

AC•BC•D′O=

1

6

×

2

×

2

×

6

4

=

6

12

．
故答案为：

6

12

点评：本题考查了二面角的求法，以及三棱锥体积的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．