Question

定义：离心率e=

5 -1

2

的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（c，0），p为椭圆E上任意一点．
（1）试证：若a、b、c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）若E为黄金椭圆；问：是否存在过点F，P的直线l；使l与y轴的交点R满足

RP

=-2

PF

；若存在，求直线l的斜率K；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）假设E为黄金椭圆，则e=

c

a

=

5 -1

2

，根据等比中项的性质可推断a、b、c成等比数列，与已知矛盾，故原命题成立．
（2）设直线l的方程为y=k（x-c），进而可表示出R的坐标根据及

RP

=-2

PF

，进而表示出P的坐标，把P点代入椭圆的方程整理后可解得k存在，求出k．

解答：解：（1）证明：假设E为黄金椭圆，则e=

c

a

=

5 -1

2

，即c=

5 -1

2

a
∴b2=a2-c2=a2-(

5 -1

2

a)2=

5 -1

2

a2=ac
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾
故原命题成立．
（2）依题意设直线l的方程为y=k（x-c）
令x=0，有y=-kc，即R（0，-kc）
点F（c，0），设P（x，y）
则

RP

=(x，y+kc)，

PF

=(c-x，-y)
∵

RP

=-2

PF

∴x=2（c-x）
即p（2c，kc）
y+kc=2y
∵P在椭圆上∴

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1
又b²=ac∴4e²+k²e=1
故k2=

1-4e2

e

＜0，与k²≥0矛盾
所以，满足题意的直线不存在．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，注意寻找黄金双曲线中a，b，c之间的关系，利用椭圆的性质求解，属中档题．