Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

sn

n

)在直线y=

1

2

x+

11

2

上，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0，b₃=11，且其前9项和为153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式； 
（2）设cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

，求数列{c_n}前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用点(n，

Sn

n

)在直线y=

1

2

x+

11

2

上，可得S_n=

1

2

n2+

11

2

n，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；确定数列{b_n}是等差数列，利用其前9项和为153，b₃=11，可求}，{b_n}的通项公式； 
（2）确定数列的通项，利用裂项法即可求和．

解答：解：（1）∵点(n，

Sn

n

)在直线y=

1

2

x+

11

2

上，
∴

Sn

n

=

1

2

n+

11

2

∴S_n=

1

2

n2+

11

2

n
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+5，
n=1时，a₁=6也符合
∴a_n=n+5；
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n，
∴数列{b_n}是等差数列
∵其前9项和为153．
∴b₅=17
∵b₃=11，∴公差d=

b5-b3

5-3

=3
∴b_n=b₃+3（n-3）=3n+2；
（2）cn=

3

(2an-11)(2bn-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．