题目内容
设f(x)=| x |
| a(x+2) |
| 1 |
| 1005 |
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）若an=
| 4-4017xn |
| xn |
| ||||
| 2an+1an |
（3）问：是否存在最小整数m，使得对任意n∈N*，有f(xn)＜
| m |
| 2010 |
分析：（1）由方程f（x）=x有唯一解，解得a，从而得到f（x）．
再由f（x1）=
，解得x1最后由f（xn）=xn+1得到
=
+
由等差数列的定义求解．
（2）将xn代入an可求得an，再代入bn=
(n∈N*)解得bn，最后由错位相消法求和．
（3）由f（xn）=xn+1＜
对n∈N*恒成立，用最值法求解，只要
＞(
)max即可．
再由f（x1）=
| 1 |
| 1005 |
| 1 |
| xn+1 |
| 1 |
| xn |
| 1 |
| 2 |
（2）将xn代入an可求得an，再代入bn=
| ||||
| 2an+1an |
（3）由f（xn）=xn+1＜
| m |
| 2010 |
| m |
| 2010 |
| 2 |
| n+2009 |
解答：解：（1）∵方程f（x）=x有唯一解，
∴a=
∴f(x)=
．f(x1)=
，即
=
∴x1=
，
又由∵f（xn）=xn+1
∴
=xn+1，xn≠0?
=
+
数列{
}是首项为
，公差为
的等差数列（4分）
故
=
+(n-1)•
=
∴xn=
=
．（6分）
（2）将xn代入an可求得an=
=2n-1，
∴bn=
=
=1+(
-
)．
∴Sn=n(
-
+
-
+
-
++
-
)=n+1-
．（10分）
（3）∵f(xn)=xn+1＜
对n∈N*恒成立，
∴只要
＞(
)max即可，
而(
)max=
=
．（12分）
即要
＞
，∴m＞2，故存在最小的正整数m=3．（14分）
∴a=
| 1 |
| 2 |
∴f(x)=
| 2x |
| x+2 |
| 1 |
| 1005 |
| 2x1 |
| x1+2 |
| 1 |
| 1005 |
∴x1=
| 2 |
| 2009 |
又由∵f（xn）=xn+1
∴
| 2xn |
| xn+2 |
| 1 |
| xn+1 |
| 1 |
| xn |
| 1 |
| 2 |
数列{
| 1 |
| xn |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| 2 |
故
| 1 |
| xn |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| 2 |
| 2+(n-1)x1 |
| 2x1 |
∴xn=
| 2x1 |
| (n-1)x1+2 |
| 2 |
| n+2008 |
（2）将xn代入an可求得an=
4-4017×
| ||
|
∴bn=
| ||||
| 2an+1an |
| (2n+1)2+(2n-1)2 |
| 2(2n+1)(2n-1) |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
∴Sn=n(
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n+1 |
（3）∵f(xn)=xn+1＜
| m |
| 2010 |
∴只要
| m |
| 2010 |
| 2 |
| n+2009 |
而(
| 2 |
| n+2009 |
| 1 |
| 1+2009 |
| 2 |
| 2010 |
即要
| m |
| 2010 |
| 2 |
| 2010 |
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的定义，通项及错位相消法求和，同时，还考查了构造数列研究通项及前n项和及恒成立问题．
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