Question

（2012•淮北一模）设函数f(x)=

x

a(x+2)

方程f（x）=x有唯一的解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N﹡）且f(x1)=

2

3

（1）求证：数列{

1

xn

}是等差数列；
（2）若an=

4-3xn

xn

，bn=

1

anan+1

，求s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n；
（3）在（2）的冬件下，若不等式

k

( 1 a1 +1)( 1 a2 +1)…( 1 an +1)

≤

1

2n+1

对一切n∈N﹡均成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据ax²+（2a-1）x=0（a≠0）有唯一解，得a=

1

2

，利用f（x_n）=x_n+1，可得xn+1=

2xn

xn+2

，取倒数，即可证得数列{

1

xn

}是等差数列； 
（2）先确定xn=

2

n+1

，从而可得an=

4-3xn

xn

 =2n-1，故bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此可求S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．
（3）原不等式即为对一切n∈N^*，不等式k≤

( 1 a1 +1)( 1 a2 +1)…( 1 an +1)

2n+1

恒成立，
设h(n)=

( 1 a1 +1)( 1 a2 +1)…( 1 an +1)

2n+1

，则h（n）＞0，作商，可得h（n）随n递增，从而可得k的最大值．

解答：（1）证明：由题意得：ax²+（2a-1）x=0（a≠0）有唯一解，得a=

1

2

∴f（x）=

2x

x+2

∵f（x_n）=x_n+1（n∈N﹡）
∴xn+1=

2xn

xn+2

∴

1

xn+1

=

1

xn

 +

1

2

，即

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

∴数列{

1

xn

}是等差数列； （4分）
（2）解：由f(x1)=

2

3

，即

2x1

x1+2

=

2

3

，解得x₁=1
故

1

xn

=

n+1

2

，即xn=

2

n+1

∴an=

4-3xn

xn

 =2n-1，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

（8分）
（3）解：（理）∵

1

an+1

= 

2n

2n-1

＞0
∴原不等式即为对一切n∈N^*，不等式k≤

( 1 a1 +1)( 1 a2 +1)…( 1 an +1)

2n+1

恒成立，
设h(n)=

( 1 a1 +1)( 1 a2 +1)…( 1 an +1)

2n+1

，则h（n）＞0

h(n+1)

h(n)

=

2(n+1)

2n+1 2n+3

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

4(n+1)2

=1
即h（n）随n递增，故h(n)≥h(1)=

2 3

3

，
所以k的最大值为

2 3

3

（13分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，综合性强