Question

（2013•绵阳二模）一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面 的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是（　　）

A．3 或 8

B．8 或 11

C．5 或 8

D．3 或 11

Answer 1

分析：小球在长方体容器内，且与共点的三个面相接触，则小球的球心A到三个接触面的距离相等，小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，若以三个面的交点为坐标原点，分别以其中两个面的交线为坐标轴建立空间直角坐标系后，球心和小球上的点的坐标可知，向量

OA

和

OP

的坐标可求，由向量减法的三角形法则可得向量

AP

，向量

AP

的模就是小球的半径，由半径相等列式可求这只小球的半径．

解答：解：如图，
设长方体的三个面共点为O，以OE，OF，OG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
因为小球与共点的三个面相接触，所以设球心A（r，r，r），
又因为小球上一点P到这三个面的距离分别为4、5、5，
所以点为P（5，4，5），
则

OA

=(r，r，r)，

OP

=(5，4，5)．
由

AP

=

OP

-

OA

=(5，4，5)-(r，r，r)=（5-r，4-r，5-r）．
∴|

AP

|2=(5-r)2+(4-r)2+(5-r)2=r2，
即r²-14r+33=0，解得：r=3或r=11．
故选D．

点评：本题考查了求外切多面体，考查了空间点、线、面间的距离的计算，利用空间向量处理该题起到事半功倍的效果，属中档题．