Question

（2013•绵阳二模）我们把离心率之差的绝对值小于

1

2

的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线

x2

4

-

y2

12

=1与双曲线

x2

m

-

y2

n

=1是“相近双曲线”，则

n

m

的取值范围是

[

4

21

，

4

5

]∪[

5

4

，

21

4

]

．

Answer 1

分析：根据双曲线的几何性质求得双曲线的离心率，再由“相近双曲线”，得到关于

n

m

的不等式，解不等式求出离心率的范围．

解答：解：双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的离心率为e₁=2，
①当m＞0，n＞0时，双曲线

x2

m

-

y2

n

=1的离心率为e₂=

m+n

m

=

1+ n m

，
由题意得|

1+ n m

-2|＜

1

2

，解得

5

4

＜

n

m

＜

21

4

；
②当m＜0，n＜0时，双曲线

x2

m

-

y2

n

=1即：-

x2

-m

+

y2

-n

=1的离心率为e₂=

-m-n

-n

=

1+ m n

，
由题意得|

1+ m n

-2|＜

1

2

，解得

4

21

＜

n

m

＜

4

5

；
故答案为：[

4

21

，

4

5

]∪[

5

4

，

21

4

]．

点评：本题考查双曲线线标准方程以及双曲线的简单性质的应用，得到关于

n

m

的不等式是解题的关键，属于中档题．